Además, hay un impuesto sobre las rentas laborales con tipo impositivo τ que se dedica a ayuda humanitaria.

1. Calcule el capital por unidad de trabajo del estado estacionario.

El problema de una persona nacida en el periodo t consiste en elegir el consumo cuando el agente es joven y cuando es anciano, de forma que se maximice la utilidad a lo largo de su vida. En el periodo t, el agente trabaja y cobra un salario del que hay que descontar el consumo y los impuestos sobre el salario para obtener su ahorro en este periodo, que constituye la riqueza financiera de que dispone en el periodo t+1. En el periodo t+1, este agente consumirá el valor de la riqueza acumulada en el periodo anterior más los intereses. Los impuestos se dedican a ayuda humanitaria, por lo que no aparecen en las restricciones.

Sa:         

Combinando las dos restricciones se obtiene una sola cuya interpretación es que el valor presente del consumo en los dos periodos es igual al valor presente de todas las rentas percibidas por el agente a lo largo de su vida.

s.a:                            (1)

el lagrangiano de este problema es:

L=

Las condiciones de primer orden del problema son (junto a la restricción del problema (1)):

Combinando las dos expresiones anteriores se obtiene la relación que existe entre el consumo de los dos periodos:

  (2)

Despejando, se obtiene que el agente consume en el periodo en que es joven una parte de todos sus ingresos a lo largo de su vida actualizados al periodo t, que en este caso vienen dados por las rentas salariales que obtiene cuando es joven:

  (3)  (4)

Operando, se obtiene el ahorro de un joven del periodo t:  (5)

Se aprecia que, en este problema, la riqueza financiera es una parte de los ingresos que el agente percibe cuando es joven. El aumento en la tarifa del impuesto sobre los salarios reduce la renta disponible de los agentes y les hace consumir y ahorrar menos. Teniendo en cuenta que el equilibrio en el mercado de activos financieros requiere:

Como el tamaño de cada generación crece a una tasa n:  (6)  (7)

Es el momento de plantear la maximización de los beneficios de las empresas, que son competitivas:

En el ejercicio no nos dicen cuál es la tasa de depreciación del capital. Suponemos que es 1 para simplificar los cálculos. De esa forma, las condiciones de primer orden son:

  (8)    (9)

Simplificando y reordenando, se obtiene la relación entre el capital por trabajador del periodo t+1 y del periodo t:

    (10)

El capital por trabajador en el estado estacionario se obtiene a partir de (10) teniendo en cuenta que

   (11)

B ) Un aumento del impuesto sobre los salarios reduce el numerador de la expresión (11), por lo que el capital estacionario se reduce. El motivo es que al aumentar el impuesto sobre los salarios, los jóvenes tienen una renta disponible menor, lo que les obliga a consumir y ahorrar menos. En el gráfico siguiente se representa el efecto sobre el estado estacionario del aumento del impuesto. La curva  (que es la forma abreviada de hacer referencia a la función dada por (10)) se desplaza hacia abajo.

 C) La condición que tiene que cumplirse es que el stock de capital por trabajador en el estado estacionario sin impuesto sobre las rentas del trabajo sea mayor que el capital en la regla de oro, es decir,  k* . > kg

Para expresar la condición tenemos que calcular el capital en la regla de oro. Para ello se busca el máximo de la función que nos proporciona el consumo que permite que el capital por trabajador permanezca constante en el tiempo. Para ello partimos de la ecuación de acumulación del capital por trabajador y seguimos manteniendo que la tasa de depreciación del capital es 1

donde t c es el consumo por trabajador. El capital por trabajador permanece constante cuando:

La derivada de la función anterior es

Igualando la expresión anterior a cero y despejando se obtiene el capital por trabajador en la regla de oro:

   la condición que debe cumplirse para que el estado estacionario sea eficiente es k*>kg

Si queremos que sea ineficiente cuando no hay impuestos:

=      operando

Si se verifica la condición anterior, el producto marginal del capital es mayor en la regla de oro que en el equilibrio estacionario. Lo que está pasando es que: f`(kg)=1-n>f`(k*)=1+r*àn>r*, puesto que si  se verifica que: f`(kg)=1-n   f`(k*)=1+r*

d) Si inicialmente la economía se encuentra en un equilibrio dinámicamente ineficiente, el aumento del impuesto sobre los salarios (τ) haría posible que el stock de capital se redujera en el estado estacionario y, por tanto, podría llevarnos a eliminar la sobreacumulación de capital. En otras palabras, si el stock de capital inicial supera al de la regla de oro ( k* > kg ), mediante aumentos en τ se puede lograr que el stock de capital por trabajador en el estado estacionario se reduzca hasta igualar o ser menor que el de la regla de oro. El tipo impositivo que logre que el stock de capital por trabajador coincida con el de la regla de oro debe verificar la siguiente condición:

=   Despejamos: y el tipo impositivo es