Análisis Formal del Equilibrio Walrasiano
Consideremos una economía de intercambio puro con dos individuos (m = 2) representada por E = {R², ui, wi}, donde i = 1, 2.
La función de demanda de cada individuo es continua: qi = qi(P) = (qi1(P), qi2(P)).
La función de demanda neta se define como: qiN = qi(P) – wi = (qi1(P) – wi1; qi2(P) – wi2).
Dado que las preferencias son monótonas, se cumple la restricción presupuestaria para cada individuo: P * qiN(P) = 0.
Agregando las funciones de demanda neta, obtenemos: ∑ qiN(P) = 0, lo que implica que toda la riqueza se gasta en el consumo de los dos bienes.
Definiendo Z(P) = ∑ qiN(P), tenemos PZ(P) = 0, que es la Ley de Walras.
Aplicación de la Ley de Walras para Dos Bienes
Para dos bienes, la Ley de Walras se expresa como: p1z1(P) + p2z2(P) = 0. Esta igualdad se cumple para todo vector de precios, no solo en el equilibrio.
Si para todo P >> 0, se cumple que:
- Z1(P) < 0, entonces Z2(P) > 0
- Z1(P) > 0, entonces Z2(P) < 0
- Z1(P) = 0, entonces Z2(P) = 0
Esto nos permite analizar el equilibrio Walrasiano en uno de los dos mercados.
Homogeneidad de Grado 0 de la Función de Exceso de Demanda
z1(P) tiene las mismas propiedades que la función de demanda individual, incluyendo la homogeneidad de grado 0 en precios. Esto significa que si P’ = λP, entonces qi(P’) = qi(λP) para i = 1..m, y Z(P) = Z(λP).
Normalizamos los precios definiendo λ = 1 / (p1 + p2), obteniendo P’ = (P1‘, P2‘) = (P1 / (P1 + P2), P2 / (P1 + P2)). Así, p1‘ + p2‘ = 1 y p1‘ = 1 – p2‘. Esta normalización no afecta las cantidades demandadas ni los excesos de demanda.
Podemos expresar las funciones de exceso de demanda como: z1(p1‘, p2‘) = Z1(1 – p2‘, p2‘) = Z1(p2‘) y z2(p1‘, p2‘) = Z2(1 – p2‘, p2‘) = Z2(p2‘). Esto implica que podemos analizar solo el mercado del bien 2, ya que si Z1(P) = 0, entonces Z2(P) = 0.
Existencia del Equilibrio Walrasiano
Si p2 = 0 (o muy próximo a 0), debido a la monotonía de las preferencias, existirá un exceso de demanda en el mercado 2: Z2(0) > 0.
Con precios normalizados, si p2 = 1, entonces p1 = 0, y habrá un exceso de demanda en el mercado 1: Z1(1) > 0.
La función de exceso de demanda es continua. Si p2 = (1 – ε), donde ε > 0, entonces Z1(1 – ε) > 0. Aplicando la Ley de Walras: εZ1(1 – ε) + (1 – ε)Z2(1 – ε) = 0, lo que implica Z2(1 – ε) < 0 (exceso de oferta en el mercado 2).
Por el Teorema del Valor Medio, existe un p2* entre (0, 1) tal que Z2(p2*) = 0. Por lo tanto, existe un vector de precios en el cual el mercado 2 está en equilibrio, y por la Ley de Walras, el mercado 1 también lo estará. Esto demuestra la existencia del equilibrio Walrasiano.
Distribución del Bienestar: Curva de Posibilidades de Utilidad (CPU) y Frontera del Bienestar
Curva de Posibilidades de Utilidad (CPU)
Consideramos las distribuciones de bienestar en una economía simplificada de dos consumidores, representadas por el conjunto de pares (u1, u2). Un planificador busca determinar el conjunto de distribuciones de bienestar que corresponden a un óptimo de Pareto.
Manteniendo constantes las ofertas de los factores de producción y las ofertas de los bienes q = (q1, q2), podemos determinar el conjunto de distribuciones óptimas de Pareto de los dos bienes entre ambos consumidores.
A un vector de producción q constante, asociamos un conjunto de distribuciones (u1, u2) que cumplen la optimalidad en el consumo: {(u1, u2) | RMSq112 = RMSq222}. La curva CC’ representa este conjunto.
La curva UU’ se denomina Curva de Posibilidades de Utilidad (CPU), que representa la máxima utilidad que puede alcanzar un individuo, dado un nivel de utilidad del otro, un vector de producción y ofertas rígidas de factores.
Analíticamente, se busca maximizar u2 = U2(q21, q22) sujeto a u1 = U1(q11, q12), q11 + q21 = q1 y q12 + q22 = q2.
Todos los puntos de la CPU cumplen la optimalidad en el consumo. La CPU es decreciente: (du2 / du1) < 0, lo que significa que un incremento en la utilidad de un individuo implica una disminución en la utilidad del otro.
Frontera del Bienestar
La Frontera del Bienestar es la envolvente de las infinitas curvas de CPU. Cada CPU corresponde a un vector fijo de cantidades producidas. Solo el punto ‘A’ en la Frontera del Bienestar cumple todas las condiciones de optimalidad, donde se igualan las relaciones marginales de sustitución de ambos consumidores y la relación marginal de transformación (RMT).
Por cada vector de producción perteneciente a la curva de transformación, se define una CPU, y un punto de ella cumplirá la optimalidad.