Sistema Francés

Renta: cuotas constantes, temporario, cierto, a interés compuesto, amortización creciente, interés sobre saldo. Fórmulas:

• V = C (1+i)ⁿ – 1 / i * (1+i)ⁿ
• C = V_n i * (1+i)ⁿ / (1+i)ⁿ – 1

La cuota está formada por dos partes: de interés y amortización real. Amortización real de un periodo a partir del fondo amortizando:

• t₁ = C – V_n * i
• t₂ = C – (V_n – t₁) * i = C – V_n * i + t₁ * i = t₁ * (1+i)
• t₃ = C – (V_n – t₁ – t₂) * i = t₁ * (1+i)²
• t₄ = C – (V_n – t₁ – t₂ – t₃) * i = t₁ * (1+i)³

Si generalizamos: t_p = t₁ * (1+i)^p-1.

Fondo Amortizante en función de la Cuota

Fondo amortizante: t₁ = C – V_n * i; reemplazamos la forma de la deuda:

• t₁ = C – C * [(1+i)ⁿ – 1 / i(1+i)ⁿ]
• t₁ = C – C * (1+i)ⁿ – 1 / (1+i)ⁿ
• t₁ = C – C * [((1+i)ⁿ / (1+i)ⁿ) – (1 / (1+i)ⁿ)]
• t₁ = C – C * [1 – (1 / (1+i)ⁿ)]
• t₁ = C * (1 / (1+i)ⁿ)

Deuda en función del Fondo Amortizante

La suma de las n amortizaciones reales debe ser igual a la deuda originaria:

• V_n = t₁ + t₂ + t₃ + … + t_n
• Amortizaciones reales en función del fondo amortizante:
• V_n = t₁ + t₁ * (1+i) + t₁ * (1+i)² + … + t₁ * (1+i)^n-1

Factor común t₁. Progresión geométrica: S = a * (qⁿ – 1) / (q – 1) con a = 1º término, q = razón geométrica = (1+i), n = aplazo = n.

V_n = t₁ * [1 * ((1+i)ⁿ – 1) / (1+i – 1)]

Final: Deuda en función del fondo amortizante:

V_n = t₁ * [1 * ((1+i)ⁿ – 1) / i]; fondo amortizante en función de la deuda t₁ = V_n * [i / (1+i)ⁿ – 1]

Deuda Pendiente

Diferencia entre deuda inicial y total amortizado:

• V_n – p = V_n – T_p

Reemplazamos el total amortizado:

• V_n – p = V_n – V_n * [(1+i)^p – 1 / (1+i)ⁿ – 1]

Factor común de V_n; común denominador:

• V_n – p = V_n * [(1+i)ⁿ – (1+i)^p / (1+i)ⁿ – 1]

Final: deuda pendiente en función de la deuda:

• V_n – p = V_n * [(1+i)ⁿ – (1+i)^p / (1+i)ⁿ – 1]

Periodo de Amortización

Periodo al cabo del cual se amortiza parte de la deuda inicial. Periodo medio de reembolso:

Saber después de cuántos periodos se habrá amortizado una determinada fracción de la deuda. Sea “q” la inversa de la fracción.

• V_n / q = t_i + t₂ + t₃ + … + t_m

Sustituyendo en función de t₁:

• t₁ = t₁ + t₁ * (1+i) + t₁ * (1+i)² + … + t₁ * (1+i)^m-1

Factor común de t₁; progresión geométrica:

• V_n / q = t₁ * ((1+i)^m – 1) / i

V_n tiene como función:

• V_n = t₁ * ((1+i)ⁿ – 1) / i

[t₁ * ((1+i)ⁿ – 1) / i] / q = t₁ * ((1+i)^m – 1) / i;

[t₁ * ((1+i)ⁿ – 1)] / qi = t₁ * ((1+i)^m – 1) / i;

((1+i)ⁿ – 1) / q = (1+i)^m – 1;

[(1+i)ⁿ – 1) / q] + 1 = (1+i)^m;

[(1+i)ⁿ – 1 + q) / q] = (1+i)^m;

m = log[(1+i)ⁿ + (q-1)] – log q / log(1+i).

Se llama periodo de reembolso al tiempo necesario para que la deuda se reduzca a la mitad.

• q = 2
• m = log[(1+i)ⁿ + (q-1)] – log 2 / log(1+i).

Tasa de Amortización

Fondo amortizante suficiente para extinguir una deuda de un peso, pagadera en n cuotas a la tasa i de interés por periodo.

• V_n = t₁ * (1+i)ⁿ – 1 / i;
• 1 = T * [(1+i)ⁿ – 1 / i];
• i / T = (1+i)ⁿ – 1;
• (i / T) + 1 = (1+i)ⁿ;
• log(i / T + 1) = n log(1+i);
• plazo: log(i / T + 1) / log(1+i) = n;
• cuota: C = V_n i + t₁;
• t₁ = V_n * [i / (1+i)ⁿ – 1];
• C = i / (1+i)ⁿ – 1; t₁ = V_n * T;
• C = V_n i + V_n T;
• Final: C = V_n (i + T); Deuda: V_n = C / (i + T).

Sistema Francés en Contextos Inflacionarios

V_n = C * [(1+i)ⁿ – 1 / i(1+i)ⁿ]; esto presupone que la tasa de la función se mantendrá constante durante todo el periodo n. No admite variación en i; en momentos como el actual de elevada inflación, el componente de la i más importante es la expectativa de desvalorización monetaria, lo que hace que lo que llamamos intereses tenga el mayor componente que es ajuste de capital y produce distorsiones al pagar como interés. Intereses gravados con impuestos, IVA aplicando impuesto sobre ajuste de capital podría significar tasas confiscatorias. Nuestra economía y prácticas bancarias imponen la tasa flotante.

Cálculo de C

C = t_p + V_n – p * i; t_p: amortización real del subperiodo p; V_n – p = deuda pendiente al momento p; i = tasa de interés;

Con Tasa Flotante

Al variar la i, la alternativa: calcular el cuadro de amortización con tasa vigente al momento de pactarse la operación. Y el pago de C, calculamos i con tasas flotantes que estuvieron vigentes en cada periodo. Dos valores se van a alterar: importe de C y de los intereses.

• C_p = t_p + V_n – p * (i₁ * d₁ + i₂ * d₂ + … + i_n * d_n).

Sistema Americano

Consiste en prestar la suma V por n periodos, a tasa periódica i. Al final de cada periodo abona interés vencido V_n * i y a la conclusión del plazo, junto con el último pago de interés, devuelve la suma V_n.

• Deuda: V_n = t * [(1+i’)ⁿ – 1 / i’];
• Fondo amortizante: t = V_n * [i’ / (1+i’)ⁿ – 1];
• Cuota: C’ = V_n * i + t; reemplazando t: C’ = V_n * i + V_n * [i’ / (1+i’)ⁿ – 1];
• i’ = tasa pasiva i = de interés.

Comparación del Sistema Americano con el Sistema Francés

Desarrollamos la inversa del valor actual del sistema francés para capitales unitarios:

• V_n = C * [(1+i)ⁿ – 1 / i(1+i)ⁿ]; C = 1:
• [(1+i)ⁿ – 1 / i(1+i)ⁿ]; V_n – 1 = i * [(1+i)ⁿ / (1+i)ⁿ – 1];
• V_n – 1 = i * [(1+i)ⁿ – 1 + 1 / (1+i)ⁿ – 1];
• V_n – 1 = i * [(1+i)ⁿ – 1 / (1+i)ⁿ – 1] + [1 / (1+i)ⁿ – 1];
• V_n – 1 = i + i * [1 / (1+i)ⁿ – 1];

Cuota: C’ = V_n * i + t; fondo amortizante: t = V_n * S – 1_n * (i’); C’ = V_n * i + V_n * S – 1_n * (i’); C’ = V_n * i + V_n * (V_n – 1_n * (i’) – i’); C’ = V_n * i + V_n * (V_n – 1_n * (i’) – V_n * i’); C’ = V_n * i + C – V_n * i’; Final: C’ = C + V_n * (i – i’).

Sistema Alemán

Con cada cuota se pagan intereses sobre saldo más una suma constante en concepto de amortización real de capital. Como la parte amortización real es constante y los intereses se calculan sobre V_n – p, las cuotas son decrecientes aritméticamente.

Deducción de función de cuota:

• C₁ = V_n / n + V_n * i = V_n * ((1/n) + i) = V_n * ((1 + in) / n) = V_n / n * (1 + in);
• C₂ = V_n / n + (V_n – (V_n / n)) * i = V_n / n + V_n * (1 – (1/n)) * i = V_n / n * (n – 1 / n) * i = V_n / n * [(1 + (n – 1)i)];

Generalizando para C de cualquier periodo:

• C_p = V_n / n * [(1 + (n – p + 1)i)].

Ley de Cuotas

Para establecer diferencia entre C. Factor de crecimiento:

• C₂ – C₁ = V_n / n * [(1 + (n – 1)i)] – V_n / n * (1 + in);
• C₂ – C₁ = V_n / n + (V_n / n) * ni – (V_n / n) * i – (V_n / n) – (V_n / n) * in;
• C₂ – C₁ = -(V_n / n) * i;

O sea, decrece un importe fijo, resulta aplicar función de Valor actual con cuotas variables en progresión aritmética.

Sistema de Interés Directo con Tasa Fija

C constantes y en cada pago se amortiza una suma igual de capital. Los intereses se calculan sobre el total de la suma prestada, por esto la tasa resultante es mayor a la utilizada en el cálculo. Para financiar automotores o bienes durables.

• C = (V_n / n) + V_n * i.

Tasa Flotante

C = (V_n / n) + V_n * (i₁ * p₁ + i₂ * d₂ + … + i_n * d_n).

Sistema Ajustable Tasa Fija

Se calcula amortización real constante (A_n / n) haciendo el cociente entre total adeudado y cantidad de cuotas en que se va a amortizar.

• C_p = (V_n / n) * (1 + i)^p.

Significa que la C se ajusta en cada pago con la i. Esa función sería aplicable en caso que se mantenga constante la i por todo el periodo, desde otorgamiento del préstamo hasta el pago, supuesto muy difícil en la actualidad.

Tasa Flotante

Ajustar en cada periodo con tasas vigentes:

• C_p = (V_n / n) * (1 + i₁ * d₁ + i₂ * d₂ + … + i_n * d_n).

Sistema de Ahorro y Préstamo

M_V se encuentra después del momento inicial. Generalmente, cuando el deudor no tiene suficientes bienes como para garantizar un préstamo, se le pide que abone en forma de ahorro determinada cantidad de cuotas. Se puede calcular de tres maneras.

• 1) Tasa y cuotas mismas para el periodo de ahorro y préstamo.
• A) VA de pagos y se capitaliza hasta M_V.
• B) VF de pagos y se actualiza hasta momento de entrega del préstamo.
• C) Capitaliza todos los pagos de ahorro hasta entrega del préstamo y se suma VA de cuotas de etapa de préstamo en M_V.
• 2) Tasas diferentes en etapa de ahorro de la de préstamo o C diferentes. Usar alternativa C) para calcular el valor al momento de valuación y C.

Rentas en General

Todo aquello que se paga periódicamente. Sucesión de sumas disponibles según determinada sucesión de tiempo. Momento inicial (MI) donde comienza el primer periodo. Momento final (MF) en el cual termina el último periodo. Momento de valuación (MV) al cual están referidos los cálculos que valoran la totalidad de los términos de la renta.

• PR: tiempo entre un término y otro de la renta.
• Término de la renta: suma disponible o cuota periódica.
• n: cantidad de cuotas.

Clasificación

• Según momento de pago:
• Vencida: 1er pago al final del 1er periodo, servicio de luz.
• Adelantada: 1er pago al principio del 1er periodo, alquiler.
• Según método de cálculo: interés simple y compuesto.
• Según número de cuotas: temporarias: número finito de términos. Permanentes: número indefinido.
• Por la certeza de ocurrencia: ciertas: pagos no subordinados a hecho aleatorio. Inciertas: supeditadas a existencia de hecho aleatorio.
• Variabilidad de sus términos: constantes y variables.

VF de una Renta Cierta Constante Vencida Temporaria

Capitalizar cada C hasta MF, con interés compuesto para cada plazo:

• S_n = C * (1+i)ⁿ – 1 + C * (1+i)ⁿ – 2 + C * (1+i)ⁿ – 3 + … + C * (1+i)² + C * (1+i) + C;
• S_n = C + C * (1+i) + C * (1+i)² + … + C * (1+i)ⁿ – 3 + C * (1+i)ⁿ – 2 + C * (1+i)ⁿ – 1;

S_n = C * [1 + (1+i) + (1+i)² + … + (1+i)ⁿ – 3 + (1+i)ⁿ – 2 + (1+i)ⁿ – 1];

S = a * ((qⁿ – 1) / (q – 1)) donde a: 1er término, q: razón geométrica, n: cantidad de términos. a = 1, q = (1+i), n = n veces;

S_n = C * [1 * ((1+i)ⁿ – 1) / (1+i) – 1];

Final:

• VF Vencida: S_n = C * ((1+i)ⁿ – 1) / i;
• C = S_n * (i / (1+i)ⁿ – 1);
• Plazo: n = log(S_n + C) – log C / log(1+i).

VA Vencido

V_n = S_n * (1 / (1+i)ⁿ); V_n = C * ((1+i)ⁿ – 1 / i) * (1 / (1+i)ⁿ).

VA Adelantado

V_n‘ = V_n * (1+i); V_n‘ = C * ((1+i)ⁿ – 1 / i) * (1 / (1+i)ⁿ) * (1+i).

VF de una Renta Cierta Constante Adelantada Temporaria

S_n‘ = C * (1+i)ⁿ + C * (1+i)ⁿ – 1 + C * (1+i)ⁿ – 2 + … + C * (1+i)² + C * (1+i);

S_n‘ = C * (1+i) + C * (1+i)² + … + C * (1+i)ⁿ – 2 + C * (1+i)ⁿ – 1 + C * (1+i)ⁿ;

S_n‘ = C * [(1+i) + (1+i)² + … + (1+i)ⁿ – 2 + (1+i)ⁿ – 1 + (1+i)ⁿ];

S = a * ((qⁿ – 1) / (q – 1)) donde a: 1er término, q: razón geométrica, n: cantidad de términos. a = (1+i), q = (1+i), n = n veces;

S_n‘ = C’ * [a * ((qⁿ – 1) / (q – 1))] = C’ * [(1+i) * ((1+i)ⁿ – 1) / (1+i) – 1];

Final:

• VF Adelantado: S_n‘ = C’ * ((1+i)ⁿ – 1 / i) * (1+i); C’ = S_n‘ * (i / (1+i)ⁿ – 1) * (1 / (1+i));
• Plazo: n = log(S_n‘ * i + C(1+i)) – log C(1+i) / log(1+i).

Valor Final Vencido de Imposición a Interés Simple

C = mα + αi’ + α²i’ + α³i’ + … + α(m-2)i’ + α(m-1)i’; C = mα + αi'[1 + 2 + 3 + … + (m-2) + (m-1)];

S = (a + l / 2) * m a = 1 l = (m-1) m = (m-1); C = mα + αi'[(a + l) / 2) * m];

C = mα + αi'[(1 + (m-1) / 2) * m – 1]; C = mα + [ai’m / 2 * (m-1)]; C = mα + [1 + ((i’) * (m-1) / 2); C = mα + [2 + i'(m-1) / 2].

Valor Final Adelantado de Imposición a Interés Simple

C = mα + αi’ + α²i’ + α³i’ + … + α(m-2)i’ + α(m-1)i’ + ami’; C = mα + αi'[1 + 2 + 3 + … + (m-2) + (m-1) + m];

S = (a + l / 2) * m a = 1 l = (m) m = (m); C = mα + ai'[(a + l) / 2) * m];

C = mα + ai'[(1 + m / 2) * m]; C = mα[1 + (i'(m-1) / 2)]; C = mα[2 + (i'(m-1) / 2)].

VF de una Renta Combinada

Se utilizan cuando PC anula y PR trime. Vencidas: C a imposición simple: C = mα * [2 + (i'(m-1) / 2)] y VF en imp comp: S_mn = mα * [2 + (i'(m-1) / 2)] * ((1+i)ⁿ – 1 / i).

Adel: igual a la vencida solo que m + 1.

Amortización a Interés Simple y Compuesto Combinadas

Se PR menor PC, conteniendo número m de pagos, la C periódica de amortización a interés compuesto formado por monto a interés simple de los pagos subperiódicos calculados al término de periodo.

• C = mα * [2 + (i'(m-1) / 2)], VA vencido en imp comp: V_n = C * ((1+i)ⁿ – 1 / i(1+i)ⁿ; V_mn = mα * [2 + (i'(m-1) / 2)] * ((1+i)ⁿ – 1 / i(1+i)ⁿ).
• Adel: igual solo que m + 1.

Cálculo de Tasas por Aproximación Sucesiva

En rentas ciertas constantes temporarias, la tasa no se puede despejar de fórmula directa. Este método consiste en hallar un límite inferior y otro superior, lo más próximo al valor real de la tasa e ir haciendo variar hasta el valor correcto.

Límite Superior

V_n = C * [(1+i)ⁿ – 1 / i(1+i)ⁿ]; dividimos numerador con denominador por (1+i)ⁿ: V_n = C * [(1 – vⁿ) / i con vⁿ = 1 / (1+i)ⁿ; i = (C / V_n) * (1 – vⁿ) como vⁿ valor entre 0 y 1 entonces 1 – vⁿ < 1 es insignificante; i < C / V_n.

Límite Inferior

n > 1: C_n > M; (1+i)ⁿ > (1+i*n); 1 / (1+i)ⁿ < 1 / (1+i*n); -1 / (1+i)ⁿ > -1 / (1+i*n); 1 – (1 / (1+i)ⁿ) > 1 – (1 / (1+i*n)); C / V * [1 – (1 / (1+i)ⁿ) > C / V * [1 – (1 / (1+i*n))]; i = C / V_n * (1 – vⁿ) o i = C / V_n * (1 – (1 / (1+i)ⁿ); i > C / V * [1 – (1 + in)]; i > C / V * [(in) / (1 + in)]; 1 + in > C / V * [(in) / i]; in > [(C * n) / V) – 1]; i = C / V – 1 / n; Conclusión: C / V – 1 / n < C / V_n.

Renta Subperiódica

S_nm = C(1 + (i/m))^(n-1)m + C(1 + (i/m))^(n-2)m + … + C(1 + (i/m))^(2m) + C(1 + (i/m))^m + C;

S_nm = C + C(1 + (i/m))^m + C(1 + (i/m))^2m + … + C(1 + (i/m))^(n-2)m + C(1 + (i/m))^(n-1)m; factor común C;

S = a * (qⁿ – 1) / (q – 1) a = 1 q = (1 + (i/m))^m n = n;

S_nm = C[a * (qⁿ – 1) / (q – 1)]; S_nm = C[1 * ((1 + (i/m))^mn – 1) / (1 + (i/m)) – 1]; poner fórmulas de tabla.

VF Renta Vencida Variable en Progresión Aritmética

S_v = C(1+i)ⁿ – 1 + (C + r)(1+i)ⁿ – 2 + (C + 2r)(1+i)ⁿ – 3 + … + [C + (n-2)r](1+i)¹ + [C + (n-1)r];

S_v = C(1+i)ⁿ – 1 + C(1+i)ⁿ – 2 + r(1+i)ⁿ – 2 + C(1+i)ⁿ – 3 + 2r(1+i)ⁿ – 3 + … + C(1+i)² + (n-2)r(1+i)² + C(1+i)¹ + (n-1)r(1+i);

S_v * i = C(1+i)ⁿ + r(1+i)ⁿ – 1 + r(1+i)ⁿ – 2 + r(1+i)ⁿ – 3 + … + r(1+i)² + r(1+i)¹ – [C + nr – r];

S_v * i = C(1+i)ⁿ + r + r(1+i) + r(1+i)² + r(1+i)³ + … + r(1+i)^n-2 + r(1+i)^n-1 – C – nr;

S_v * i = C(1+i)ⁿ + r[1 + (1+i) + (1+i)² + (1+i)³ + … + (1+i)^n-2 + (1+i)^n-1] – C – nr;

q = 1 + i S = a * (qⁿ / q – 1); S_v * i = C[(1+i)ⁿ – 1 / i] + r[i * ((1+i)ⁿ – 1) / i] – nr / i;

VF de una Renta Variable en Progresión Aritmética

S_v = (C + r / i) * [(1+i)ⁿ – 1) / i] – nr / i;

Adel: S_v = (C + r / i) * [(1+i)ⁿ – 1) / i] – nr / i * (1+i).

VA de una Renta Vencida en Progresión Aritmética

V_v = [(C + r / i) * ((1+i)ⁿ – 1) / i] – nr / i * vⁿ;

V_v = (C + r / i) * ((1+i)ⁿ – 1) / i * vⁿ – nr / i;

V_v = (C + r / i) * ((1+i)ⁿ – 1) / i * vⁿ + nr / i * (1 – vⁿ); V_v = (C + r / i) * ((1+i)ⁿ – 1) / i * vⁿ + nr / i * (1 – vⁿ) – nr / i;

Descuentos

En general: D = N – V. D: descuento, N: valor nominal, V: valor actual.

Métodos de Descuento

Descuento Comercial: el interés del valor nominal D₁ = N * i en fórmulas derivadas:

• N = D₁ / i;
• i = D₁ / N_n;
• n = D₁ / N_i.

Aplicando función en general:

• D = N – V₁;
• N_in = N – V₁;
• V₁ = N – N_in;
• V₁ = N(1 + in).

Fórmulas derivadas:

• N = V₁ / (1 – in);
• n = N – V₁ / (N * i);
• i = N – V₁ / (N * n).

Criticas

i * n = 1, el VA se anula, cualquiera fuere su valor nominal; i * n superior a 1, VA es negativo: absurdo; se calcula i sobre valor futuro de la obligación en lugar de hacerlo sobre VA. Método para operaciones a corto plazo y con tasas corrientes.

Descuento Racional a Interés Simple

Interés simple sobre el valor actual. D₂ = V₂ * i en fórmulas derivadas:

• V₂ = D₂ / i;
• i = D₂ / V₂ * n;
• n = D₂ / V₂ * i.

En fórmula general:

• D₂ = N – V₂;
• V₂ * in = N – V₂;
• V₂ * in + V₂ = N.

Valor nominal: N = V₂ * (1 + in); VA: V₂ = N / (1 + in); Tasa: i = N – V₂ / V₂ * n; plazo: n = N – V₂ / V₂ * i.

Descuento Compuesto

Valor actual surge de actualizar a interés compuesto el valor nominal. N = V₃ * (1+i)ⁿ valor actual, V₃ = N / (1+i)ⁿ.

En fórmula general:

• D₃ = N – V₃;
• D₃ = V₃ * (1+i)ⁿ – V₃;
• D₃ = V₃ * ((1+i)ⁿ – 1);

Descuento en función del VA:

• D₃ = N – V₃;
• D₃ = N – (N / (1+i)ⁿ); D₃ = N * (1 – (1 / (1+i)ⁿ)); D₃ = N * [(1+i)ⁿ – 1) / (1+i)ⁿ].

Deducción plazo: N = V₃ * (1+i)ⁿ; N / V₃ = (1+i)ⁿ; log(N / V₃) = log(1+i)ⁿ; log N – log V₃ = n log(1+i).

Comparaciones Analíticas y Gráficas entre Distintos Descuentos

1) Comercial y Racional a interés simple: D₁ = N * i_n y D₂ = V₂ * i. D₁ > D₂ para cualquier n positivo. Diferencia: D₁ – D₂ = N * i_n – V₂ * i; D₁ – D₂ = (N – V₂) * i; D₁ – D₂ = D₂ * i.

La diferencia entre descuentos es igual al interés simple del D₂. El valor nominal: D₁ – D₂ = D₂ * i; D₁ – D₂ = D₂ * D₁ / N; N = D₂ * D₁ / (D₁ – D₂).

2) D₂ y D₃: V₃ = N / (1+i)ⁿ y V₂ = N / (1 + in). Si para n = 0: (1+i)ⁿ = 1 + in resulta entonces: V₃ = V₂ y D₃ = D₂; n = 1: (1+i)ⁿ = 1 + in resulta entonces: V₃ = V₂ y D₃ = D₂; n > 1: (1+i)ⁿ > 1 + in resulta entonces: V₃ < V₂ y D₃ > D₂; 0 < n < 1: (1+i)ⁿ < 1 + in resulta entonces: V₃ > V₂ y D₃ < D₂.

Tasas: incremento del interés en una unidad de tiempo. Tasa de interés: debe reflejar el costo unitario del dinero y a su vez el precio según nos ubiquemos como deudor o acreedor.

Nominal

Tasa que junto al método de cálculo forma parte de una convención para realizar una operación financiera.

Proporcional

Surge de expresar la nominal aplicable para periodo de capitalización distinto menor. Se hace la proporción a la nominal donde m es la cantidad de subperiodos de capital que en el periodo de la tasa.

Efectiva

Tasa periódica que puesta en un régimen de capitalización periódica produce para igual capital e igual plazo el mismo monto que la tasa proporcional con capitalización subperiódica. C_n = C_n * m; Co(1+i’)ⁿ = Co(1+i/m)^nm; 1 + i’ = (1 + i/m)^m; i’ = (1 + i/m)^m – 1. Muestra el verdadero rendimiento de una operación.

Equivalente

Tasa subperiódica que puesta a un régimen de capitalización subperiódica produce para igual capital e igual plazo, el mismo monto que la nominal con capitalización periódica. C_n = C_n * m; Co = (1+i)ⁿ = Co(1 + im)^nm; 1 + i = (1 + im)^m; im = raíz de (1+i) – 1 a la m.

Convertible

Surge de expresar en forma periódica la equivalente. Tasa subperiódica multiplicada por número de subperiodos que existen en el año: im = im * m.

Instantánea

Puesta a un régimen de capitalización continua produce para igual capital e igual plazo el mismo monto que nominal con capitalización periódica. Co * e^ns = Co(1+i)ⁿ; e^s = 1 +; Ln e^s = ln(1+i); S * ln e = ln(1+i); S = ln(1+i).

Comparación Analítica de Tasas

1) Efectiva y Nominal: C_n > C_n; Co(1+i/m)^nm > Co(1+i)ⁿ; (1+i/m)^nm > (1+i)ⁿ; (1+i/m)ⁿ > 1 + i; (1+i/m)^m – 1 > i; i’ = (1+i/m)^m – 1; final: i’ > i. Efectiva mayor a nominal.

2) Equivalente y Proporcional: Co(1+i)ⁿ = Co(1+im)^nm; 1 + i = (1 + im)^m; (1 + i/m)^m > (1 + im)^m; 1 + i/m > 1 + im; final: i/m > im proporcional mayor a equivalente.

3) Nominal y Convertible: i/m > im; i/m * m > i/im * m; final: i > im* nominal mayor a convertible.

Orden Decreciente: i’ > i > im.

Tasa de Interés Simple y Compuesto Equivalente

M = C_n; C(1 + is * n) = C(1 + ic)ⁿ; 1 + is * n = (1 + ic)ⁿ; is * n = (1 + ic)ⁿ – 1; final: is = (1 + ic)ⁿ – 1 / n tasa de interés simple que satisface la igualdad de montos; tasa de interés compuesta: 1 + is * n = (1 + ic)ⁿ; raíz de (1 + is * n) a la n = 1 + ic; raíz de (1 + is * n) a la n – 1 = ic.

Tasa de Deudor y Acreedor

i’ = (R / P)^m – 1.

Tasa Efectiva Anual en Interés Simple

i’ = (R / P)^m – 1; i’ = (C * (1 + in) / C)ⁿ – 1; i’ = (1 + in)^m – 1; i’ = (1 + in)^1/n – 1.

Tasa Efectiva Anual en Descuento Comercial

i’ = (R / P)^m – 1; i’ = (N / N(1 – in))^m – 1; i’ = (1 – in)^m – 1; i’ = (1 / (1 – in))^1/n – 1.