Descuentos: Conceptos y Métodos

El descuento es una reducción sobre el importe de una obligación debido a un pago realizado antes de su vencimiento. En general, se representa como: D = N – V, donde:

• D: Descuento
• N: Valor Nominal
• V: Valor Actual

Métodos de Descuento

Descuento Comercial

Se calcula aplicando el interés simple sobre el valor nominal:

D1 = N * i * n

Fórmulas derivadas:

• N = D1 / (i * n)
• i = D1 / (N * n)
• n = D1 / (N * i)

Aplicando la fórmula general (D = N – V):

• D = N – V1
• N * i * n = N – V1
• V1 = N – N * i * n
• V1 = N(1 – i * n)

Formulas derivadas:

• N = V1 / (1 – i * n)
• n = (N – V1) / (N * i)
• i = (N – V1) / (N * n)

Críticas al Descuento Comercial:

• Si i * n = 1, el Valor Actual (VA) se anula, independientemente del valor nominal.
• Si i * n > 1, el VA se vuelve negativo, lo cual es absurdo.
• La tasa de interés (i) se calcula sobre el valor futuro (nominal) en lugar del valor actual.

Descuento Racional a Interés Simple

Se calcula aplicando el interés simple sobre el valor actual:

D2 = V2 * i * n

Fórmulas derivadas:

• V2 = D2 / (i * n)
• i = D2 / (V2 * n)
• n = D2 / (V2 * i)

Usando la fórmula general:

• D2 = N – V2
• V2 * i * n = N – V2
• V2 * i * n + V2 = N

Valor nominal:

• N = V2(1 + i * n)

Valor actual:

• V2 = N / (1 + i * n)

Tasa:

• i = (N – V2) / (V2 * n)

Plazo

• n = (N – V2) / (V2 * i)

Descuento Compuesto

El valor actual se obtiene actualizando el valor nominal a interés compuesto:

• N = V3(1 + i)^n
• VA: V3 = N / (1 + i)^n

En la fórmula general:

• D3 = N – V3
• D3 = V3(1 + i)^n – V3
• D3 = V3[(1 + i)^n – 1] (Descuento en función del VA)
• D3 = N – V3
• D3 = N – (N / (1 + i)^n)
• D3 = N[1 – (1 / (1 + i)^n)]
• D3 = N[(1 + i)^n – 1] / (1 + i)^n (Descuento en función del valor nominal)

Deducción del plazo:

• N = V3(1 + i)^n
• N / V3 = (1 + i)^n
• log(N / V3) = log(1 + i)^n
• log N – log V3 = n * log(1 + i)
• n = (log N – log V3) / log(1 + i)

Comparación entre los Distintos Tipos de Descuento

Comparación entre Descuento Comercial y Racional (Interés Simple)

D1 > D2 para cualquier n positivo.

• D1 – D2 = N * i * n – V2 * i * n
• D1 – D2 = (N – V2) * i * n
• D1 – D2 = D2 * i * n

La diferencia entre los descuentos es igual al interés simple de D2.

Valor nominal:

• D1 – D2 = D2 * i * n
• D1 – D2 = D2 * i * n * (N/N)
• D1-D2 = D2*(D1/N)
• N = (D2 * D1) / (D1 – D2)

Comparación entre Descuento Racional (D2) y Descuento Compuesto (D3)

• V3 = N / (1 + i)^n
• V2 = N / (1 + i * n)

Si:

• n = 0: (1 + i)^n = 1 + i * n => V3 = V2 y D3 = D2
• n = 1: (1 + i)^n = 1 + i * n => V3 = V2 y D3 = D2
• n > 1: (1 + i)^n > 1 + i * n => V3 < V2 y D3 > D2
• 0 < n < 1: (1 + i)^n < 1 + i * n => V3 > V2 y D3 < D2

Comparación Analítica de Tasas

Tasa Efectiva y Nominal

• Cnm > Cn
• Co(1 + i/m)^(nm) > Co(1 + i)^n
• (1 + i/m)^(nm) > (1 + i)^n
• (1 + i/m)^m > 1 + i
• (1 + i/m)^m – 1 > i
• i’ = (1 + i/m)^m – 1
• i’ > i (La tasa efectiva es mayor que la nominal)

Tasa Equivalente y Proporcional

• Co(1 + i)^n = Co(1 + im)^(nm)
• 1 + i = (1 + im)^m
• (1 + i/m)^m > (1 + im)^m
• 1 + i/m > 1 + im
• i/m > im (La tasa proporcional es mayor que la equivalente)

Tasa Nominal y Convertible

• i/m > im
• (i/m) * m > (i/im) * m
• i > im (La tasa nominal es mayor que la convertible)

Orden decreciente: i’ > i > im

Tasa de Interés Simple y Compuesto Equivalentes

• M = Cn
• C(1 + is * n) = C(1 + ic)^n
• 1 + is * n = (1 + ic)^n
• is * n = (1 + ic)^n – 1
• is = ((1 + ic)^n – 1) / n (Tasa de interés simple que satisface la igualdad de montos)

Tasa de interés compuesto:

• 1 + is*n = (1+ic)^n
• (1 + is * n)^(1/n) = 1 + ic
• (1 + is * n)^(1/n) – 1 = ic

Tasa de Interés Compuesto y Descuento a Tasa de Descuento Equivalente

• Cn = N
• C(1 + i)^n = V4 / (1 – d)^n
• (1 + i)^n = 1 / (1 – d)^n
• 1 + i = 1 / (1 – d)
• i = (1 / (1 – d)) – 1
• i = (1 – (1 – d)) / (1 – d)
• i = d / (1 – d)

Tasa de descuento:

• 1 – d = 1 / (1 + i)
• 1 – (1 / (1 + i)) = d
• ((1 + i) – 1) / (1 + i) = d
• i / (1 + i) = d

Tasa Efectiva en Operaciones Simples

• s = I / P = (R – P) / P
• i’ = (1 + s)^m – 1
• i’ = (1 + (R – P) / P)^m – 1
• i’ = ((P + R – P) / P)^m – 1
• i’ = (R / P)^m – 1

Tasa del Deudor y Acreedor

i’ = (R / P)^m – 1

Tasa Efectiva Anual en Interés Simple

• i’ = (R / P)^m – 1
• i’ = (C * (1 + i * n) / C)^(1/n) – 1
• i’ = (1 + i * n)^(1/n) – 1

Tasa Efectiva Anual en Descuento Comercial

• i’ = (R / P)^m – 1
• i’ = (N / (N(1 – i * n)))^m – 1
• i’ = (1 / (1 – i * n))^(1/n) – 1

Cálculo de Tasas por Aproximación Sucesiva

En rentas ciertas constantes temporarias, la tasa no se puede despejar directamente de la fórmula. El método de aproximación sucesiva consiste en encontrar un límite inferior y uno superior, lo más próximos al valor real de la tasa, e ir ajustando hasta encontrar el valor correcto.

Límite Superior

• Vn = C * [((1 + i)^n – 1) / (i(1 + i)^n)]

Dividimos numerador y denominador por (1 + i)^n:

• Vn = C * [(1 – v^n) / i], donde v^n = 1 / (1 + i)^n
• i = (C / Vn) * (1 – v^n)

Como v^n está entre 0 y 1, entonces 1 – v^n < 1 (es insignificante):

• i < C / Vn

Límite Inferior

• n > 1: Cn > M
• (1 + i)^n > (1 + i * n)
• 1 / (1 + i)^n < 1 / (1 + i * n)
• -1 / (1 + i)^n > -1 / (1 + i * n)
• 1 – (1 / (1 + i)^n) > 1 – (1 / (1 + i * n))
• C/V * [1 – (1 / (1 + i)^n)] > C/V * [1 – (1 / (1 + i * n))]
• i = C / Vn * (1 – v^n) o i = C / Vn * (1 – (1 / (1 + i)^n))
• i > C / V * [1 – (1 / (1 + i * n))]
• i > C / V * [(1 + i * n – 1) / (1 + i * n)]
• i > C / V * [(i * n) / (1 + i * n)]
• 1 + i * n > C / V * [(i * n) / i]
• i * n > [(C * n) / V] – 1
• i = (C / V) – (1 / n)

Conclusión: (C / V) – (1 / n) < i < C / Vn

Renta Subperiódica

• Snm = C(1 + (i/m))^(n-1)m + C(1 + (i/m))^(n-2)m + … + C(1 + (i/m))^(2m) + C(1 + (i/m))^m + C
• Snm = C + C(1 + (i/m))^m + C(1 + (i/m))^2m + … + C(1 + (i/m))^(n-2)m + C(1 + (i/m))^(n-1)m

Factor común C:

• S = a * (q^n – 1) / (q – 1)
• a = 1
• q = (1 + (i/m))^m
• n = n
• Snm = C[a * (q^n – 1) / (q – 1)]
• Snm = C[1 * ((1 + i/m)^(mn) – 1) / ((1 + i/m)^m – 1)]

Valor Final de una Renta Vencida Variable en Progresión Aritmética

• Sv = C(1 + i)^(n-1) + (C + r)(1 + i)^(n-2) + (C + 2r)(1 + i)^(n-3) + … + [C + (n – 2)r](1 + i)^1 + [C + (n – 1)r]
• Sv = C(1 + i)^(n-1) + C(1 + i)^(n-2) + r(1 + i)^(n-2) + C(1 + i)^(n-3) + 2r(1 + i)^(n-3) + … + C(1 + i)^1 + (n – 2)r(1 + i)^1 + [C + (n – 1)r]
• Sv(1 + i) = C(1 + i)^n + C(1 + i)^(n-1) + r(1 + i)^(n-1) + C(1 + i)^(n-2) + 2r(1 + i)^(n-2) + … + C(1 + i)^2 + (n – 2)r(1 + i)^2 + C(1 + i) + (n – 1)r * (1 + i)
• Sv = C(1 + i)^(n-1) + C(1 + i)^(n-2) + r(1 + i)^(n-2) + C(1 + i)^(n-3) + 2r(1 + i)^(n-3) + … + C(1 + i)^2 + (n – 3)r(1 + i)^2 + C(1 + i)^1 + (n – 2)r * (1 + i)^1 + [C + (n – 1)r]
• Sv * i = C(1 + i)^n + r(1 + i)^(n-1) + r(1 + i)^(n-2) + r(1 + i)^(n-3) + … + r(1 + i)^2 + r(1 + i)^1 – [C + nr – r]
• Sv * i = C(1 + i)^n + r(1 + i)^(n-1) + r(1 + i)^(n-2) + r(1 + i)^(n-3) + … + r(1 + i)^2 + r(1 + i)^1 – C – nr + r
• Sv * i = C(1 + i)^n + r[1 + (1 + i) + (1 + i)^2 + (1 + i)^3 + … + (1 + i)^(n-2) + (1 + i)^(n-1)] – C – nr
• q = 1 + i
• S = a * (q^n -1) / (q – 1)
• Sv * i = C(1 + i)^n – C + r[((1 + i)^n – 1) / (1 + i – 1)] – nr
• Sv * i = C[(1 + i)^n – 1] + r[((1 + i)^n – 1) / i] – nr
• Sv = C[((1 + i)^n – 1) / i] + (r/i)[((1 + i)^n – 1) / i] – nr/i

Valor Final de una Renta Variable en Progresión Aritmética:

• Sv = (C + r/i) * [((1 + i)^n – 1) / i] – nr/i

Adelantada:

• Sv = [(C + r/i) * (((1 + i)^n – 1) / i) – nr/i] * (1 + i)

Valor Actual de una Renta Vencida en Progresión Aritmética:

• Vv = [(C + r/i) * (((1 + i)^n – 1) / i) – nr/i] * v^n
• Vv = (C + r/i) * (((1 + i)^n – 1) / i) * v^n – nr/i
• Vv = (C + r/i) * (((1 + i)^n – 1) / i) * v^n + nr/i * (-v^n)
• Vv = (C + r/i) * (((1 + i)^n – 1) / i) * v^n + nr/i * (1 – v^n – 1)
• Vv = (C + r/i) * (((1 + i)^n – 1) / i) * v^n + nr/i * (1 – v^n) – nr/i

con v^n = 1 / (1 + i)^n

• Vv = (C + r/i) * (((1 + i)^n – 1) / (i * (1 + i)^n)) + nr/i * (1 – (1 / (1 + i)^n)) – nr/i
• Vv = (C + r/i) * (((1 + i)^n – 1) / (i * (1 + i)^n)) + nr/i * (((1 + i)^n – 1) / (1 + i)^n) – nr/i
• Vv = (C + r/i + nr) * (((1 + i)^n – 1) / (i * (1 + i)^n)) – nr/i

Adelantada:

• Vv = [(C + r/i + nr) * (((1 + i)^n – 1) / (i * (1 + i)^n)) – nr/i] * (1 + i)

Valor Final Vencido de Imposiciones a Interés Simple

• C = mα + αi’ + α2i’ + α3i’ + … + α(m-2)i’ + α(m-1)i’
• C = mα + αi'[1 + 2 + 3 + … + (m-2) + (m-1)]
• S = (a + l) / 2 * m
• a = 1
• l = (m – 1)
• m = (m – 1)
• C = mα + αi'[((a + l) / 2) * m]
• C = mα + αi'[(1 + (m – 1)) / 2 * (m – 1)]
• C = mα + [ai’m / 2 * (m – 1)]
• C = mα + [1 + ((i’ * (m – 1)) / 2)]
• C = mα + [2 + i'(m – 1) / 2]

Valor Final de una Renta Combinada

Se utilizan cuando el período de capitalización (PC) es anual y el período de renta (PR) es trimestral, por ejemplo.

Vencidas

• C a imposición simple: C = mα * [2 + (i’ * (m – 1) / 2)]
• VF en imposición compuesta: Sn = C * ((1 + i)^n – 1) / i
• VF de imposiciones a interés simple y compuesto combinadas vencidas: Smn = mα * [2 + (i’ * (m – 1) / 2)] * ((1 + i)^n – 1) / i

Adelantadas

Igual a la vencida, solo que m + 1.

Amortizaciones a Interés Simple y Compuesto Combinadas

Cuando el PR es menor que el PC, conteniendo un número ‘m’ de pagos, la cuota (C) periódica de amortización a interés compuesto está formada por el monto a interés simple de los pagos subperiódicos calculados al término del período.

• C = mα * [2 + (i’ * (m – 1) / 2)]
• VA vencido en imposición compuesta: Vn = C * ((1 + i)^n – 1) / (i * (1 + i)^n)
• Vmn = mα * [2 + (i’ * (m – 1) / 2)] * ((1 + i)^n – 1) / (i * (1 + i)^n)

Adelantada: igual, solo que m + 1.