1.- Calcula el tanto por uno correspondiente a los siguientes tantos por ciento: 5 %, 8 %, 5,45 %, 7,25 %
i = r/100
i = 5/100 = 0,05
i = 8/100 = 0,08
i = 5,45/100 = 0,0545
i = 7,25/100 = 0,0725
2.- Calcula el interés producido por un capital de 3.200 €, colocado al 5 % de interés simple durante 2 años.
I = C0 · i · n = 3.200 · 0,05 · 2 = 320 €
3.- Calcula el montante del ejercicio anterior.
Cn = C0 + I = 3.200 + 320 = 3.520 €
4.- Calcula el tipo de interés al que se prestó un capital de 250 € si en dos años produjo un interés de 28 €.
I = C0 · i · n
28 = 250 · i · 2
28 = 500 · i
i = 28 / 500 = 0,056
r = 0,056 · 100 = 5,6 %
5.- Calcula el tiempo que estuvo prestado un capital de 3.000 €, al 5,25 % anual si produjo un interés de 472,5 €
I = C0 · i · n
472,5 = 3.000 · 0,0525 · n
472,5 = 157,5 · n
n = 472,5 / 157,5 = 3 años
6.- Calcula el interés producido por un capital de 1.500 €, impuesto al 6 % de interés anual durante 6 meses.
I = 1.500 · 0,06 · 6/12 = 45 €
7.- Un capital de 2.300 €, prestado durante 9 meses, produjo un interés de 69 €. Calcula el tipo de interés al que se prestó.
I = C0 · i · n
69 = 2.300 · i · 9/12
69 = 1.725 · i
i = 69 / 1.725 = 0,04
r = 4 %
8.- Calcula el interés y el montante producidos por un capital de 3.600 € invertido al 3,5 % durante 120 días.
I = C0 · i · n = 3.600 · 0,035 · 120/365 = 41,42 €
Cn = C0 + I = 3.600 + 41,42 = 3.641,42 €
9.- Calcula el interés producido por un capital de 500 € colocados al 4,25 % durante 3 meses.
I = C0 · i · n = 500 · 0,0425 · 3/12 = 5,31 €
10.- Calcula el capital final del ejercicio anterior.
Cn = C0 + I = 500 + 5,31 = 505,31 €
11.- Calcula el capital equivalente a 2.000 € dentro de 8 meses al 6 %.
Cn = C0 (1+i · n) = 2.000 (1+ 0,06 · 8/12) = 2.000 (1 + 0,04) = 2.080 €
12.- El capital equivalente a 3.000 € dentro de 90 días es 3.036,99 €. Calcula a qué tipo de interés se realizó la operación.
Cn = C0 (1+i · n)
3.036,99 = 3.000 (1+ i · 90/365)
3.036,99 / 3.000 = 1 + i · 90/365
1,01233 – 1 = i · 90/365
i = 0,01233 / (90/365) = 0,05
r = 5 %
13.- ¿Cuánto tardará un capital colocado al 6 % de interés anual en triplicarse?
Cn = C0 (1+i · n)
Si se triplica significa que Cn = 3·C0
3·C0 = C0 (1+0,06 · n)
3· C0 / C0 = 1+0,06 n)
3 – 1 = 0,06 n
n = 2 / 0.06 = 33,33 años
14.- Calcula el tanto mensual y semestral equivalentes al 8 % anual.
im = i / m
Mensual: i12 = 0,08 / 12 = 0,006666666
Semestral: i2 = 0,08 / 2 = 0,04
15.- ¿Durante cuántos meses se invirtió un capital de 850 € al 4,5 % anual si se convirtió en 872,31 €?
Cn = C0 (1+i · n)
872,31 = 850 [1+(0,045/12) ·n]
872,31 /850 = 1 + 0,00375 · n
1,026247059 –1 = 0,00375 · n
n = 0,026247059 / 0,00375 = 6,999 meses < 7 meses
16.- Calcula el capital invertido al 6 % anual simple durante 3 años si alcanzó un capital final de 1.770 €
Cn = C0 (1+i · n)
1.770 = C0 (1+0,06 · 3)
1.770 = C0 (1+0,18)
1.770 = C0 ·1,18
C0 = 1.770 / 1,18 = 1.500 €
17.- Un capital invertido al 6,5 % anual simple produjo unos intereses de 48,75 €. Si al cabo de 9 meses alcanzó un montante de 1.048,75 €, calcula el capital inicial.
C0 = Cn – I = 1.048,75 – 48,75 = 1.000 €
18.- Determina el montante de un capital de 1.650 € invertido durante 3 meses al 2 % trimestral.
Cn = C0 (1+i · n)
Cn = 1.650 (1+0,02 · 1) = 1.650 · 1,02 = 1.683 €
Como el tipo de interés es trimestral el tiempo será en trimestres (3 meses = 1 trimestre)
19.- Un capital prestado durante 6 años produjo un interés igual a la mitad de dicho capital. Calcula el tipo de interés al que se prestó.
I = C0 · i · n
Como I = C0 / 2 = 0,5 C0
0,5 C0 = C0 · i· 6
0,5 C0 / C0 = i · 6
0,5 = i · 6
i = 0.5 / 6 = 0,08333
r = 8,33 %
20.- Una persona desea disponer dentro de 10 meses de 2.604,17 €. Si el tipo de interés simple anual es del 5 %, calcula el capital que se prestó.
C0 = Cn (1/1+i*n) = 2.604,17 (1/1+0,05*10/12) = 2.500 €
21.- Dos capitales colocados al 5 % simple anual, el primero durante 10 meses y el segundo durante 6 meses, producen el mismo interés. Calcula dichos capitales si el segundo es 20 € mayor que el primero.
I1 = C01 · 0,05 · 10/12
I2 = C02 · 0,05 · 6/12
I1 = I2
C01 · 0,05 · 10/12 = C02 · 0,05 · 6/12
C02 = C01 + 20
C01 · 0,05 · 10/12 = (C01 + 20) · 0,05 · 6/12
C01 · 0,041666666 = (C01 + 20) ·0,025
C01 · 0,041666666 = C01 · 0,025 + 20 ·0,025
C01 · 0,041666666 – C01 · 0,025 = 20 · 0,025
0,016666666 · C01 = 0,5
C01 = 0.5 / 0,016666666 = 30 €
C02 = C01 + 20 = 30 + 20 = 50 €
Descuento Comercial
22.- Calcula el interés producido por tres capitales, impuestos al 5 % de interés simple: 600 € durante 90 días, 900 € durante 60 días y 1.500 € durante 30 días. Utiliza el divisor fijo. Año comercial.
153.000
7.200
= 21,25 €
23.- Calcula el descuento comercial correspondiente a una letra de 5.000 € negociada al 9 % de interés anual 6 meses antes de su vencimiento.
Dc = N · i · n = 5.000 · 0,09 · 6/12 = 225 €
24.- Calcula el efectivo recibido por la letra del ejercicio anterior.
E = N – Dc = 5.000 – 225 = 4.775 €
25.- Calcula el descuento comercial y el valor efectivo recibido por la negociación de un efecto comercial de 3.500 €, al 9 % de interés anual, 80 días antes de su vencimiento.
Dc = N · i · n = 3.500 · 0,09 · 80/360 = 70 €
E = N – Dc = 3.500 – 70 = 3.430 €
26.- Calcula el valor efectivo resultante de un pagaré de 2.300 €, negociado 60 días antes de su vencimiento al 8 % de interés anual.
E = N (1– i · n) = 2.300 (1– 0,08 · 60/360) = 2.300 (1 – 0,013333333)
= 2.300 · 0,986666666 = 2.269,33 €
27.- Calcula el descuento y el efectivo resultante de negociar un pagaré de 3.000 €, tres meses antes de su vencimiento, al 6,5 % de interés anual.
Dc = N · i · n = 3.000 · 0,065 · 3/12 = 48,75 €
E = N – Dc = 3.000 – 48,75 = 2.951,25 €
28.- Calcula el descuento comercial y el valor efectivo recibido por la negociación de tres letras de cambio al 9 % de interés anual. Utiliza el divisor fijo. La fecha de descuento es el 1 de junio
NOMINAL | FECHA DE VENCIMIENTO |
1.200 € | 10 de agosto |
1.500 € | 20 de julio |
2.300 € | 30 de junio |
Nominal | Días descuento | Números comerciales |
1.200 | 70 | 84.000 |
1.500 | 49 | 73.500 |
2.300 | 29 | 66.700 |
5.000 | | 224.200 |
Calcula también el líquido recibido si la comisión es del 5 por mil y 0,90 de otros gastos.
D = 360/i = 360/0.09 = 4.000
Dc = Suma de números comerciales / Divisor fijo = 224.200 / 4.000 = 56,05 €
E = N – Dc = 5.000 – 56,05 = 4.943,95 €
Líquido recibido = N – Dc – Comisión – Gastos
Líquido = 5.000 – 56,05 – 5.000 · 0,005 – 0,90 = 5.000 – 56,05 – 25 – 0,90 = 4.918,05 €
Interés Compuesto
31.- Calcula el montante obtenido por un capital de 2.000 €, durante 5 años, al 4,5 % de interés.
Cn = C0 (1+i)n
Cn = 2.000 (1+0,045)5 = 2.000 · 1,246181938 = 2.492,36 €
32.- Calcula el interés obtenido por un capital de 3.200 €, al 4 % de interés, durante 3 años.
I = C0 [(1+i)n –1] = 3.200 [(1+0,04)3 –1] = 399,56 €
33.- Compramos un producto y nos comprometemos a pagar 898,88 € dentro de dos años. Calcula el precio del producto si la operación se realiza al 6 % anual.
Cn = C0 (1+i)n
898,88 = C0 (1+0,06)2
C0 = 898,88 / 1,1236 = 800 €
34.- Calcula el montante que se obtiene al invertir un capital de 350 €, al 4 % durante 5 años.
Cn = C0 (1+i)n = 350 (1+0,04)5 = 425,83 €
35.- Durante cuánto tiempo se invirtió un capital de 500 €, al 4,5 % anual, si alcanzó un montante de 570,58 €.
Log(1+i)log(1+0,045)0,019112
36.- Un capital invertido al 5 % de interés anual produjo unos intereses de 94,58 €. El capital final después de 3 años fue de 694,58 €. Calcula el importe del capital invertido.
C0 = Cn – I = 694,58 – 94,58 = 600 €
37.- Calcula el tipo de interés anual al que se invirtió un capital de 300 € si el montante, al cabo de 5 años, fue de 365 €
I= (Cn/C0)1/n – 1 = (365/300)1/5 – 1 = 0,04 à 4%
38.- Calcula el montante y los intereses producidos por un capital de 850 €, invertido al 4 % anual, durante 3 años y 9 meses.
Cn = C0 (1+i)n = 850 (1+0,04)3+9/12 = 850 (1+0,04)3,75 = 984,68 €
I = Cn – C0 = 984,68 – 850 = 134,68 €
39.- Deseamos disponer de 11.411,66 € dentro de 3 años. Calcula qué cantidad deberemos ingresar hoy en el banco al 4,5 % de interés compuesto anual.
40.- Luis y Antonio invierten un capital de 3.000 € durante 3 años. Luis coloca su capital al 4 % anual compuesto y Antonio al 4 % de interés simple anual. Calcula el capital final obtenido por cada uno.
Luis: Cn = C0 (1+i)n = 3.000 (1+0,04)3 = 3.374,59 €
Antonio: Cn = C0 (1+i · n) = 3.000 (1+0.04 · 3) = 3.360 €
41.- Calcula el capital final que se obtiene al invertir 5.000 € durante un año, al 4 % de interés nominal, en los siguientes casos:
a) Capitalización semestral.
b) Capitalización trimestral.
c) Capitalización mensual.
a) Semestral: i2 = 0,04/2 = 0,02
Cn = C0 (1+i)n = 5.000 (1+0,02)1·2 = 5.202 €
b) Trimestral: i4 = 0,04/4 = 0,01
Cn = C0 (1+i)n = 5.000 (1+0,01)1·4 = 5.203,02 €
c) Mensual: i12 = 0,04/12 = 0,00333333
Cn = C0 (1+i)n = 5.000 (1+0,00333333)1·12 = 5.203,71 €
42.- Calcula el interés producido por un capital de 10.000 € en los siguientes casos:
a) Durante 3 años al 6 % anual
b) Durante 6 semestres al 3 % semestral
c) Durante 12 trimestres al 1,5 % trimestral
d) Durante 36 meses al 0,5 % mensual.
a) Cn = C0 (1+i)n = 10.000 (1+0,06)3 = 11.910,16 €
b) Cn = C0 (1+i)n = 10.000 (1+0,03)6 = 11.940,52 €
c) Cn = C0 (1+i)n = 10.000 (1+0,015)12 = 11.956,18 €
d) Cn = C0 (1+i)n = 10.000 (1+0,005)36 = 11.966,81 €
43.- Calcula el tipo de interés efectivo equivalente en los casos b), c) y d) del ejercicio anterior.
b) i = (1+im)m –1 = (1+0,03)2 = 0,0609
c) i = (1+im)m –1 = (1+0,015)4 = 0,06136355
d) i = (1+im)m –1 = (1+0,005)12 = 0,06167778
44.- Calcula el tanto anual efectivo (TIE) que corresponde al tanto nominal (TIN) del 8 % en los siguientes casos:
a) Capitalización semestral
b) Capitalización trimestral.
c) Capitalización mensual.
45.- Calcula el montante y los intereses producidos por un capital de 12.000 €, impuesto durante 3 años al tanto nominal del 8 %, en los casos a), b) y c) del ejercicio anterior.
a) Cn = C0 (1+i)n = 12.000 (1+0,0816)3 = 15.183,83 € o Cn = 12.000 (1+0,04)3·2 = 15.183,83 € I = Cn – C0 = 15.183,83 – 12.000 = 3.183,83 €
b) Cn = C0 (1+i)n = 12.000 (1+0,0824322)3 = 15.218,90 € o Cn = 12.000 (1+0,02)3·4 = 15.218,90 € I = Cn – C0 = 15.218,90 – 12.000 = 3.218,90 €
c) Cn = C0 (1+i)n = 12.000 (1+0,0829995)3 = 15.242,84 € o Cn = 12.000 (1+0,00666666)3·12 = 15.242,84 € I = Cn – C0 = 15.242,84 – 12.000 = 3.242,84 €
46.- Calcula i si J12 = 0,006
i = (1+Jm/m) – 1 = (1+0,06/12) -1 = 0,0616778
47.- Calcula el tanto anual efectivo que corresponde a un TIN del 9 % si la frecuencia de capitalización es: a) cuatrimestral, b) trimestral, c) mensual.
48.- Calcula el tanto de interés compuesto trimestral equivalentes al 8 % anual efectivo.
49.- Calcula el tanto de interés anual efectivo equivalente al 2 % de interés trimestral.
im = (1+i)1/m–1 =
i4 = (1+0,08)1/4–1 = 0,019426546
50.- Calcula el montante de 1.200 € colocados al 5 % de interés, durante 4 años y 3 meses.
Cn = C0 (1+i)n = 1.200 (1+0,05)4+3/12 = 1.200 (1+0,05)4,25 = 1.476,51 €
51.- Calcula el tanto trimestral al que fueron impuestos 1.500 € durante 4 años, si el capital final es de 2.809,47 €.
Cn = C0 (1+i)n = 1.200 (1+0,05)4+3/12 = 1.200 (1+0,05)4,25 = 1.476,51 €
Para obtener el tanto trimestral ponemos el tiempo en trimestres (4 años son 16 trimestres)
