Ejercicio 1: Función de Producción y Productividad Marginal

Nos dan una función de producción Y=…, y valores de K (capital) y N (trabajo).

a) Representar la relación entre producción y capital, manteniendo el trabajo constante.

• Sustituimos los valores de N en la función de producción.
• Obtenemos una función donde Y depende únicamente de K: y = f(k).
• Calculamos la productividad marginal del capital (PMK): PMK = dY/dK.
• Analizamos si la PMK disminuye o no a medida que aumenta K.

b) Mantener constante el capital y analizar el efecto de un aumento de N sobre la productividad marginal del trabajo (PMN).

• Sustituimos el valor de K en la función de producción.
• Obtenemos una función Y que depende de N: Y = f(N).
• Calculamos la PMN: PMN = dY/dN.
• Sustituimos cada valor de N en la función de producción y en la función de PMN para observar cómo varía la PMN al aumentar N.

Ejercicio 2: Demanda de Trabajo

Nos dan la fórmula de la PMN en función de N (número de horas) y A (productividad), y el precio del producto.

a) Calcular la demanda de trabajo dado un valor de A y el salario nominal (w).

• Igualamos la PMN a W (salario real): PMN = W.
• Despejamos N de la ecuación anterior para obtener la demanda de trabajo.
• Calculamos el salario real (W): W = w/P, donde P es el precio del producto.
• Sustituimos el valor de W en la ecuación de demanda de trabajo para obtener el valor de N.

Ejercicio 3: Oferta de Trabajo

Nos dan una función de utilidad que depende de R (renta) y L (número de horas de ocio).

a) Calcular las horas de trabajo dado el salario (w).

• Calculamos la Relación Marginal de Sustitución (RMS): RMS = (dU/dL) / (dU/dR).
• Igualamos la RMS al negativo del salario: RMS = -w.
• Despejamos L de la ecuación anterior.
• Sustituimos el valor de w en la ecuación para obtener el valor de L.
• Calculamos las horas de trabajo (N): N = 24 – L.

Ejercicio 5: Crecimiento Económico

Nos dan el PIB real per cápita de dos economías y sus tasas de crecimiento.

Calcular el PIB real per cápita dentro de x años.

• Utilizamos la fórmula del crecimiento compuesto: PIB_t = PIB₀ * (1 + g)^t
• Donde PIB_t es el PIB real per cápita en el año t, PIB₀ es el PIB real per cápita inicial, g es la tasa de crecimiento y t es el número de años.

Equilibrio en el Mercado de Bienes

Ejercicio 1: Ahorro Nacional e Interés Real

Nos dan la producción de pleno empleo (Y), las compras del estado (G), y una tabla con el tipo de interés real, el consumo deseado (C^d) y la inversión deseada (I^d).

a) Calcular el ahorro nacional (S^d) a cada valor del interés real.

• Utilizamos la fórmula del ahorro nacional: S^d = Y – C^d – G.
• Sustituimos los valores de Y, G y C^d para cada tipo de interés.

b) Determinar el tipo de interés real, el ahorro nacional y la inversión deseada en el equilibrio del mercado de bienes.

• En equilibrio, la producción es igual a la demanda agregada: Y = C^d + I^d + G.
• Buscamos en la tabla el tipo de interés real que cumple esta condición.

Ejercicio 2: Ecuación de Ahorro y Equilibrio

Nos dan la producción de pleno empleo (Y), las compras del estado (G), la inversión deseada (I^d) y el consumo deseado (C^d).

a) Hallar la ecuación que relaciona el ahorro nacional (S^d) con el interés real (r) y la producción (Y).

• Utilizamos la fórmula del ahorro nacional: S^d = Y – C^d – G.
• Sustituimos las expresiones de C^d y G en la ecuación.

b) Hallar el interés real que equilibra el mercado de bienes.

• Igualamos el ahorro nacional a la inversión deseada: S^d = I^d.
• Resolvemos la ecuación para encontrar el valor de r.

c) Analizar el efecto de un aumento de las compras del estado (G) sobre la ecuación de ahorro y el tipo de interés real.

• Calculamos la nueva ecuación de ahorro con el nuevo valor de G: S^d = Y – C^d – G_nuevo.
• Igualamos el nuevo ahorro a la inversión deseada: S^d_nuevo = I^d.
• Resolvemos la ecuación para encontrar el nuevo valor de r.

Ejercicio 3: Coste de Uso del Capital e Inversión

Nos dan la PMK, el stock de capital futuro (K_t+1), la tasa de depreciación ($), el stock de capital actual (K_t), los impuestos (T), la función de consumo, la producción (Y), el interés real (r) y el gasto público (G).

a) Calcular el coste de uso del capital ajustado dado un valor de r.

• Utilizamos la fórmula del coste de uso del capital ajustado: (r + $) / (1 – T).

b) Calcular el coste de uso del capital ajustado, el stock de capital futuro y la inversión deseada en el equilibrio del mercado de bienes.

• Igualamos la PMK al coste de uso del capital ajustado: PMK = (r + $) / (1 – T).
• Expresamos la ecuación en términos de r, por ejemplo: 0.4 + 2r.
• Sustituimos K_t+1 por una expresión que relacione K_t con la inversión y la depreciación, por ejemplo: K_t+1 = K_t + I – $K_t.
• Despejamos I^d de la ecuación anterior, por ejemplo: I^d = 220 – 100r.

c) Calcular el tipo de interés real para el equilibrio del mercado de bienes, la inversión deseada y el stock de capital futuro.

• Utilizamos la condición de equilibrio: Y = C^d + I^d + G.
• Sustituimos las expresiones de C^d, I^d y G y despejamos r.
• Calculamos I^d usando el valor de r obtenido.
• Calculamos K_t+1 usando el valor de r y la expresión de K_t+1 en función de I^d y $.
• Calculamos el coste de uso del capital ajustado: ($ + r) / (1 – T).

Crecimiento Económico a Largo Plazo

Ejercicio 2: Función de Producción Per Cápita y Estado Estacionario

Nos dan la función de producción agregada (Y_t = 3K_t^0.5N_t^0.5), el stock de capital agregado (K_t), el número de trabajadores (N_t), la tasa de depreciación ($), la tasa de crecimiento de la población (n) y la función de ahorro (S_t).

a) Expresar la función de producción en términos per cápita y calcular el estado estacionario.

• Dividimos la función de producción por N_t para obtener la producción per cápita (y_t = Y_t / N_t).
• Expresamos y_t en función de k_t (capital per cápita): y_t = f(k_t).
• Calculamos el ahorro per cápita: s_t / N_t = y_t / N_t.
• Calculamos el ahorro total: S_t = s_t * y_t.
• En el estado estacionario, K_t+1 = K_t = K_ss.
• Igualamos el ahorro a la inversión necesaria para mantener el capital constante: S_f(K_ss) = (n + $) * K_ss.
• Sustituimos K_ss en la ecuación de ahorro y resolvemos para K_ss.
• Calculamos y_ss sustituyendo K_ss en la función de producción per cápita.
• Calculamos el consumo en el estado estacionario: C_ss = Y_ss – S_f(K_ss).

b) Analizar el efecto de un cambio en la tasa de ahorro sobre el estado estacionario.

• Repetimos los pasos del apartado a) con la nueva tasa de ahorro.

Ejercicio 3: Economía Cerrada con Crecimiento Poblacional

En una economía cerrada, la población crece a una tasa (n). Nos dan la función de producción (Y_t) y la tasa de depreciación ($).

a) Calcular el capital por trabajador, la producción por trabajador, el consumo por trabajador y la inversión por trabajador en el estado estacionario, suponiendo que no hay estado y que el consumo es el 90% de la renta (C_t = 0.9y_t) y el ahorro es el 10% (S_t/N_t = 0.1y_t).

• Igualamos el ahorro a la inversión necesaria para mantener el capital constante: S_f(K_ss) = (n + $) * K_ss.
• Sustituimos S_t/N_t en la ecuación anterior, manteniendo K_ss como incógnita.
• Despejamos K_ss para obtener su valor en el estado estacionario.
• Calculamos Y_ss sustituyendo K_ss en la función de producción.
• Calculamos C_ss: C_ss = Y_ss – (valor de Y_ss) * (S_t/N_t con K_ss).
• Calculamos la inversión por trabajador aplicando K_ss a la función de S_t/N_t.

b) Analizar cómo se puede duplicar la producción por trabajador en el estado estacionario y qué proporción de la renta tendrían que ahorrar los hogares para lograrlo.

• Calculamos el doble de Y_ss, que llamaremos Y’_ss.
• Calculamos K_ss necesario para alcanzar Y’_ss utilizando la función de producción y despejando K_ss.
• Utilizamos la ecuación de equilibrio en el estado estacionario: S * Y_t(K_ss) = (n + $) * K_ss.
• Despejamos S para obtener la proporción de la renta que se debe ahorrar.

Ejercicio 4: Determinación del Capital Per Cápita

Nos dan la función de producción, la tasa de ahorro (s), la tasa de depreciación ($) y la tasa de crecimiento de la población (n). Nos piden determinar si el capital per cápita del periodo K₁ será mayor o menor que el actual (K₀ = 1).

• Utilizamos la fórmula: K_t+1 = (s * √K_t) / (n + 1) + ((1 – $) * K_t) / (n + 1).
• Sustituimos K_t por K₀ = 1 para calcular K₁.
• Comparamos K₁ con K₀ para determinar si es mayor o menor.

Ejercicio 5: Producción en Unidades de Eficiencia

Nos dan la función de producción (Y_t), la tasa de depreciación ($), la tasa de ahorro (s), la tasa de crecimiento de la población (n) y la tasa de progreso tecnológico (n).

a) Obtener la expresión de la función de producción en unidades de eficiencia.

• Definimos la producción en unidades de eficiencia como y_t = Y_t / (A_t * N_t).
• Sustituimos A_t * N_t por 1 en la función de producción.

b) Calcular los valores de capital, producción y consumo en unidades de eficiencia en el estado estacionario.

• Igualamos el ahorro multiplicado por el factor de progreso tecnológico (n) al capital en estado estacionario multiplicado por la suma de la tasa de depreciación y la tasa de crecimiento: S(n) * (K_ss obtenido en y_t) = (n + $) * K_ss.
• Comparamos el segundo K_ss con el primero.

Ejercicio 6: Contabilidad del Crecimiento

Nos dan la función de producción (Y_t). Nos piden la expresión de la contabilidad del crecimiento.

• Utilizamos la fórmula: ΔY/Y = ΔA/A + (PMK * K)/Y * ΔK/K + (PMN * N)/Y * ΔN/N.
• Calculamos la PMK y la PMN derivando la función de producción con respecto a K y N, respectivamente.
• Sustituimos PMK y PMN en la fórmula de la contabilidad del crecimiento.
• Ejemplo: ΔY/Y = ΔA/A + (1/3) * ΔK/K + (2/3) * ΔN/N.